Manifestó

“Mathematics should be thought of as the human activity of mathematizing – not as a discipline of structures to be transmitted, discovered, or even constructed, but as schematizing, structuring, and modeling the world mathematically.” – Hans Freudenthal

 

Er stærðfræði safn af þekkingu?

Oft er hugsað og talað um stærðfræði eins og hún sé tiltekið safn af táknum og reikniaðferðum sem færist milli kynslóða. Kennarar flytja aðferðirnar inn í nemendur með því að segja þeim og sýna hvernig á að gera. Þetta er líka (gróf) lýsing á einhverju sem mætti kalla „hefðbundna“ stærðfræðikennslu.

En flestar manneskjur eiga mjög erfitt með að læra eitthvað á þessu, það er að segja, reikniaðferðirnar öðlast litla (eða enga) merkingu fyrir þeim. Eftirfarandi mikilvægu spurningum er ósvarað í huga þeirra:

  • Til hvers gætu þessar aðferðir verið? Hvaða þörfum fullnægja þær? Hvaða vanda leysa þær? Hvernig tengjast þær mér eða öðrum?
  • Hvaðan koma þær? Hvaða rök liggja að þeim baki?

Reynsla aldanna er að aðeins örfáir fá eitthvað út kennslu sem þessari. Flestir gleyma aðferðunum hratt og örugglega. Enda er erfitt að muna það sem hefur ekki merkingu, og enn erfiðara að nýta sér það til einhvers. Þetta veldur einnig leiða og óþoli. Og þar sem stærðfræði hefur hátt gengi í skólahagkerfinu veldur þetta kvíða, angist, og útilokar hæfar og góðar manneskjur frá ýmsu námi og starfsemi, svo ekki sé talað um stærðfræðina sjálfa.

Á fræðasviði stærðfræðimenntunnar er almennt álitið að vænlegra sé að úr þeirri átt að stærðfræðikennsla sé það að kennari segi nemendum frá stærðfræðitáknum, hugtökum og aðferðum, sem nemendur síðan æfi og endurtaki í verkefnum og prófum, yfir í að nemendur sjálfir fáist við stærðfræði. Út frá því sjónarhorni er stærðfræðinám það að hugsa stærðfræðilega og að skapa merkingu. Stærðfræði snýst um hluti eins og að spyrja spurninga, rannsaka hvernig hlutir virka, brjóta stór vandamál í minni vandamál, taka eftir og tjá regluleika, og að færa (stærðfræðileg) rök fyrir máli sínu. Þannig er stærðfræði bæði  skapandi og gagnrýnin, og síkvik – hún er ekki safn af niðurstöðum löngu látinna karla heldur lifandi ferli sköpunar og rökræðna.

Þegar ég kenni stærðfræði reyni ég að hafa þetta að leiðarljósi. En það verður að viðurkennast að það er erfitt í umhverfi þar sem hin hefðbundna sýn er viðmiðið sem nemendur eru að lokum dæmdir eftir á prófum. Og til að vísa í eitthvað stuðandi, sem sýnir bilið milli heims rannsókna og fræði annars vegar og skólastarfs hins vegar:

Despite the wealth of research support for a mathematics curriculum based on problem solving and modelling, and reformed notions of pedagogy, wide-spread changes in mathematics education have not been achieved.

Brotið er úr Grootenboer, P. (2010). Commentary 1 on Problem solving for the 21st century. Í B. Sriraman & L. D. English (Ritstj.), Theories of mathematics education (bls. 291-295).

Ein hliðstæða

Þar sem margir eiga mjög erfitt með að hugsa hluti út frá öðru sjónarhorni en þeir eru vanir, set ég fram eina hliðstæðu: Venjan er að setja stærðfræði (eftir grunnskóla) fram með þessum hætti: Stærðfræðingar sem skilja stærðfræðikenninguna sem um ræðir mjög vel taka hana í sundur, niður í smæstu einingar, og raða efninu upp í rökrétta röð. Þannig má hefja leikinn á því að kynna táknin og einföldustu hugtökin og byggja kenninguna upp smám saman. Þessu má líkja við það að taka sundur bifreið, losa hverja einustu skrúfu, og skrifa leiðbeiningar um það hvernig hægt er að setja bílinn saman aftur.

Auto-Parts

Er besta leiðin til að læra um uppbyggingu bíla að setja þá saman frá byrjun? Í stærðfræði er þetta reyndar verra, vegna þess að flestir hafa hugmynd um það hvernig bíll lítur út og til hvers hann er. Það á ekki við um stærðfræði. [Ath. Ég ekki endilega hrifinn af líkingum námsgreina við bílaakstur, ég er ekki að meina að maður þurfi ekki að skilja ástæður hluta í stærðfræði vegna þess að „það er hægt að keyra bíl án þess að skilja hvernig vélin virkar.“ Þegar grunnskóla sleppir (eða fyrr) þá er sú samlíking röng. Stærðfræði er ekki eins og bíll.]

Eitt dæmi með örstuttum skýringum

Þar sem margir eiga mjög erfitt með að hugsa hluti út frá öðru sjónarhorni en þeir eru vanir, set ég líka fram eitt dæmi. Í stað þess að hefja leikinn með það fyrir augum að segja nemendum frá stærðfræðitáknum og hugtökum er hægt að byrja með áhugaverðar spurningar sem hæfa þroska og þekkingu nemenda. Skilyrðið er að verkefnið sé „raunverulegt“ fyrir nemendum. Það þýðir ekki að það fjalli um daglegt líf eða áþreifanlega hluti, heldur að það tilheyri veruleika sem nemendur geta „gert sér í hugarlund“. Eitt af því sem vakir fyrir mér með því að sýna svona verkefni er að reyna að sannfæra lesendur um að það er rangt að nemendur þurfti fyrst að læra tákn, hugtök og aðferðir sem þeir eigi síðan að beita. Þeir geta líka (og ættu sem oftast) að takast á við verkefni sem krefur þá um að búa til hugtök, aðferðir og jafnvel tákn. Eftir lausn (eða tilraun til lausnar) er rétt að kynna og tengja við þekktar aðferðir, framsetningar og tákn. Þá fyrst hefur skapast þörf fyrir slíkt. En ekki fyrr! Þetta kefst þess að sjálfsögðu að menning skólastofunnar sé þannig að það að vera góð í stærðfræði sé ekki það að geta leyst öll verkefni upp á eigin spýtur, hratt og örugglega, eftir fyrirfram gefnum aðferðum. Það að vera góð í stærðfræði getur líka þýtt það að geta hugsað og tjáð sig þannig að aðrir (nemendur) geti skilið mann, að setja fram rökstuddar tilgátur, að prófa þær, að geta bent á hvað er óljóst fyrir manni, að setja fram hluta af lausn, og svo framvegis.

Verkefni: Ef þú teiknar beina línu á flöt (eins og pappírsblað) skiptir þú blaðinu í tvö svæði. Ef þú teiknar aðra línu skiptist flöturinn í fjögur svæði. Hvað gerist ef þú teiknar þriðju línuna? Hve mörg svæði geta myndast? Hvað ef þú teiknar fleiri línur? Er hægt að segja í hve mörg svæði flöturinn skiptist ef þú teiknar 100 línur? Eða hvaða fjölda sem er?

Strik

Úr The I hate mathematics book eftir Marylin Burns

Skýring: Þetta verkefni má nota til að kynna eða þjálfa fjöldamörg hugtök. Það má nota til að sýna nemendum fram á þörfina fyrir að búa til táknmál og skráningarkerfi. Það má nota til þess að leiða þá inn í heim stærðfræðilegra röksemdarfærslna. Ungir nemendur munu fást við verkefnið á annan hátt en eldri. Það má nota þetta verkefni í grunnskóla og það má nota það í háskóla, munurinn felst í þeim kröfum sem eru gerðar um röksemdirnar. Til dæmis er þetta frábært dæmi til að kynna nemendur í háskólum (eða framhaldsskólum) fyrir þrepasönnunum, nú eða að veita nemendum frekari reynslu af slíkum sönnunum. Það má nota það í umfjöllun um runur og raðir. Það má nota það til að fá nemendur sjálfa til að „uppgötva“ það hvernig hægt er að leggja saman endanlegar mismunaraðir. Það má nota það til að sýna fram á nauðsyn þess að nota bókstafi til að tákna óákveðnar tölur og hvernig hægt er að nota slík tákn til þess að alhæfa og búa til almennar reglur. Það er líka hægt að nota það sem æfingu í samlagningu, margföldun og deilingu (fyrir hina yngri). Það er hægt að nota það til að tala um beinar línur, fleti, skurðpunkta. Það má nota það sem dæmi um það hvernig ferningsföll (annars stigs margliður) eru svar við spurningu um uppsafnað magn af stærð sem vex línulega. Það er hægt að fást við það og tjá sig um það með algebrutáknum, rúmfræðimyndum, töflum og ferlum í hnitakerfi. En það krefst mjög lítillar fyrirfram-þekkingar að skilja það og fara að fást við það. [Ég myndi benda á eina hættu sem leynist í verkefninu, sem er að nemendur gætu búið til töflu og séð út talnamynstur (sem er gott) og látið staðar numið. Stærðfræðin krefst þess að við spyrjum: af hverju kemur þetta tiltekna talnamynstur?]

Aðeins meira um myndun stærðfræðilegrar merkingar

Merking verður til og þróast stöðugt í samskiptum og tengslum. Með þessu á ég við að merking býr ekki í hlutunum sjálfum heldur verður hún til við túlkun. Ég hugsa mér tvær víddir þegar ég hugsa um merkingu stærðfræðinnar. Annars vegar merkingu í samskiptum stærðfræðilegra upplifana (reynslu í skólanum) við lífið að öðru leyti. Þetta eru þá tengsl stærðfræðinnar (þess sem gerist í skólanum í stærðfræði, og er í stærðfræðibókunum og svo framvegis) og tilverunnar. Þessi tengsl eru ólík hjá hverjum og einum, en fylgir þó algengum mynstrum. Mörgum finnst til dæmis lítil eða engin tenging vera þarna á milli. Hins vegar hugsa ég mér merkingu „í stærðfræði“ eða stærðfræðilegum athöfnum, samskiptum, og svo framvegis. Og hér greini ég aftur í tvennt: tengsl innan sama tákn- eða framsetningarkerfis, og tengsl milli mismunandi tákn- eða framsetningarkerfa. Dæmi um hið fyrra er þegar við þýðum á milli (x+1)(x-2) og x^2-1. Dæmi um hið síðara er þegar við þýðum milli slíkrar stæðu og línurits.

Það að stærðfræðilegur „hlutur“ hafi merkingu fyrir okkur þýðir að upp í hugann koma margir aðrir hlutir sem tengjast honum. Hér er lítið dæmi um það þegar mér datt í hug að svara spurningunni hvað eru 3/4?

thrirfjordu

[Hér gæti verið rétt að taka fram að út frá vissu sjónarmiði (stærðfræði sem fræðigreinar) hefur 3/4 eingöngu þá merkingu að vera ræða talan sem uppfyllir það skilyrði að ef hún er margfölduð með 4 þá er útkoman 3 (og ef við tökum með allar frumsendur og skilgreiningar sem þarf til að lýsa kerfi ræðra talna, þá er sú merking algerlega tæmd og engu má bæta við sem ekki felst í þessu.)]

Við myndræna framsetningu má bæta að 3/4 hefur merkingu fyrir okkur ef við getum notað hugtakið til einhvers. Það getur þá bæði verið að við kunnum að reikna með 3/4 innan táknkerfis eða að við getum notað 3/4 til að hjálpa okkur að hugsa um heiminn, og leysa einhver vandamál.

Nokkrar lesendavænar greinar og bækur sem útskýra mín sjónarmið betur:

  • A mathematician’s lament (Paul Lockhart) [Innblásin grein eftir stærðfræðing sem kennir í high-school (efri bekkir grunnskóla/framhaldsskóli) þar sem hefðbundin stærðfræðikennsla er harkalega gagnrýnd með ýmsum hætti. En þarna eru líka frábær dæmi um það hvernig stærðfræðinám getur verið. Til er lengri útgáfa í bókaformi. Ef tengillinn virkar ekki í framtíðinni, ætti engu að síður að vera hægt að finna greinina á netinu.]
  • Measurement (Paul Lockhart) [Bók sem er full af dásamlegum verkefnum sem eru raunveruleg, en þó eingöngu um hreina stærðfræði, aðgengileg öllum, en bæði krefjandi og mjög krefjandi.]
  • What’s math got to do with it (The elephant in the classroom, sem er titill bresku útgáfu bókarinnar) (Jo Boaler) [Bók sem segir frá mörgum mikilvægum atriðum um stærðfræðinám á mjög aðgengilegan hátt. Mörg góð verkefni.]
  • Improving learning in mathematics: challenges and strategies (Malcolm Swan) [Mjög skýr inngangur að því hvernig hægt er að hugsa um stærðfræðinám og kennslu gegnum samræður og samvinnu.]
  • How to solve it (og aðrar bækur eftir höfundinn) (George Pólya) [Bók um þrautarlausnir í stærðfræði, og stærðfræðinám sem þrautalausnir.]
  • Thinking mathematically (og allar aðrar bækur eftir höfundana) (John Mason, Leone Burton, Kaye Stacey) [Safn af þrautarverkefnum, skýringum, hugmyndum.]

 

[28.09.2013 Þetta uppkast á enn eftir að breytast og er hér bara til bráðabirgða.]

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>